Arithmantik » Letzte Stunde vor den Ferien

Mit schnellen Schritten betrat ich den Klassenraum und ließ die Bücher sowie die Pergamentrollen auf meinen Schreibtisch fliegen, da ich nicht gewillt war, so viel z tragen. Es war wesentlich einfacher, die Dinge, die man benötigt dort hin fliegen zu lassen, wo man sie haben möchte und mit den ganzen Hausaufgaben, die ich den Schülern zurückgeben wollte, war das schon einiges an Pergament. Nachdem alles ordentlich sortiert am Pult lag, wartete ich ungeduldig auf die Schüler, immer wieder auf die Uhr blickend. Wie eine Raubkatze im Käfig tigerte ich immer wieder vor der Tafel auf und ab. Endlich begannen die Schüler langsam den Unterrichtsraum zu betreten. Jeder begrüßte mich höflich, wofür ich immer nur mit einem knappen Nicken antwortete.

Die Schüler kannten mich und gingen allesamt recht schnell und still auf ihre Plätze, genau wissend, dass ich Lärm nicht sonderlich mochte und auch nicht, wenn irgendwer unaufmerksam war. Ich wusste nicht, was sie sich bei anderen Lehrern herausnehmen konnten, aber bei mir hatte strickte Aufmerksamkeit zu herrschen. Ich wollte weder Gequatsche noch mochte ich es, wenn sich irgendwer unaufmerksam zeigte. Solche Schüler bekamen bei mir oftmals eine Zusatzaufgabe zur Hausaufgabe, die sie noch am gleichen Abend abzuliefern hatten. Das hatte natürlich den Nebeneffekt, dass sie den Stoff dadurch auch lernten, denn ich gab immer Übungen, die der Hausaufgabe ähnelten auf. Allerdings musste ich diese Maßnahmen in den höheren Klassen nicht mehr all zu oft anwenden, da die Schüler recht schnell merkten, wie bei mir das ganze abzulaufen hatte.

Nachdem endlich alle Schüler im Raum waren, schloss ich mit einem Schlenker des Zauberstabs die Türe und kippte die Fenster, da es doch recht heiß war, so kurz vor den Ferien. Ich ging zum Pult und stellte mich an dieses, den Tisch in meinem Rücken, um meinen Unterricht zu beginnen. »Schönen Nachmittag zur letzten Stunde vor den Ferien. Wie sie schon wissen, werde ich heute nur die Grundlagen noch einmal durchmachen, da es meiner Meinung nach sinnvoller ist, dass ihr diese beherrscht, anstatt euch möglichst knifflige Aufgaben über die Ferien zu geben. Vor allem da die Erfahrung gezeigt hat, dass die meisten von euch über die Ferien kein Buch aufschlagen und sowieso alles vergessen würden. Also ist es sinnvoller, ihr beschäftigt euch mit etwas, das ihr schon gehört habt und eigentlich können müsstet.«

Ich fing mein bewährtes Programm an, das ich jedes Mal vor den Ferien brachte und stieß mich immer wieder einmal am Tisch ab, um ein paar Schritte zu gehen, während ich redete oder mit meinem Zauberstab die Dinge, von denen ich redete auf der Tafel erscheinen zu lassen. »Es gab im Laufe der Geschichte sowohl bei uns Magiern als auch bei den Muggel verschiedene Methoden Zahlen aufzuschreiben. Angefangen von Knoten in Schnüren, wie sie bei den Inkas gern benutzt wurden, den Hieroglyphen der Ägypter oder den Zeichen der Griechen und Römer für Zahlen. Diese Systeme haben einen großen Nachteil, man kann mit ihnen nicht sehr gut rechnen. Das wird euch gleich einleuchten, wenn ihr versucht, die Zahlen 1234 und 4321 in der Schreibweise der Römer zu addieren. übertragen in die Römerversion ist dies die Aufgabe:« Ich drehte mich zur Tafel und ließ die Aufgabe in einer schönen Schrift und leuchtend weißen Buchstaben erscheinen:

MCCXXXIV + MMMMCCCXXI =

»Bei den Muggel ist es einfacher: Man schreibt die beiden Zahlen untereinander und addiert jede Stelle nacheinander:«

1234
+ 4321
5555

»Hier seht ihr auch den gewaltigen Vorteil der Muggelschreibweise: Die Zahlen setzen sich aus Ziffern zusammen, die an unterschiedlichen Stellen der Zahl stehen. Die Stelle ganz rechts gibt die Einer an, die zweite von Rechts dann die Zehner, dann kommen die Hunderter und so weiter. So kann man die Zahl 1234 auch schreiben als:«

1000 + 200 + 30 + 4, oder als
1*1000 + 2*100 + 3*10 + 4*1

»Wenn ihr jetzt die 1000 als 10³, die 100 als 10², die 10 als 10¹ und sie 1 noch als 10⁰ schreibt, ist 1234 also:«

1*10³ + 2*10² + 3*10¹ + 4*10⁰

»Soweit alles klar?« Ich blickte mich kurz in der Klasse um, die mit eifrig gesenkten Köpfen an ihren Pulten saß und alles, was auf der Tafel erschien und wieder verschwand so schnell wie möglich abschrieb. Ich machte eine kleine Pause und wartete, bis die letzte kratzende Feder wieder zur Ruhe fand und die Schüler mir wieder ihre volle Aufmerksamkeit schenkten, bevor ich mit meinem Stoff fortfuhr.

»Ihr seht zweierlei: Beim Addieren der Zahlen braucht ihr nur die Ziffern zu sammeln, die zur betreffenden Zehnerstelle - hoch 3, hoch 2, hoch 1 oder hoch 0 - gehören und diese zu addieren. Wenn ihr dabei im Ergebnis größer - oder gleich - werdet als 10, so kommt diese 10 zur nächst höheren Stelle dazu und der Rest bleibt bei der ursprünglichen Stelle. Weiter erkennt ihr die besondere Bedeutung der 10 im Muggelsystem. Weil dieses System auf eben der 10 basiert, wird es auch Zehnersystem oder Dezimalsystem genannt.«

Wieder machte ich eine kurze Pause, damit die Schüler auch ja alles mitschreiben konnten. Währenddessen schritt ich vom Ende des Klassenraumes, an dem ich inzwischen angelangt war wieder nach vorne, immer wieder einmal einen Blick auf die Pergamente der Schüler zu werfen. Es war mucksmäuschenstill in der Klasse, nur das Schaben der Federn auf dem Pergament war zu hören, ein ab und zu vorkommendes Husten oder Räuspern.
»Als wir Magier uns damals überlegten, wie unser Zahlensystem aussehen solle, waren wir uns alle einig, dass es ein solch stellenbasierendes Zahlensystem sein soll, weil es sich damit doch praktischer rechnen lässt, als mit individuellen Zeichen für verschiedene Zahlen. Was ist jetzt aber genau ein stellenbasiertes Zahlensystem? Wir ihr vorhin bei dem Beispiel der Muggelzahl 1234 gesehen habt, haben die einzelnen Ziffern in dieser Zahl unterschiedliche Bedeutung, je nachdem, an welcher Stelle der Zahl sie stehen. Die 3 in 1234 bedeutet ja eigentlich 30, während die 3 in 4321 eigentlich 300 bedeutet.

Wenn ihr jetzt im Zehnersystem der Muggels zähen wollt, braucht ihr zehn verschiedene Zeichen. Die Muggel haben der Zählreihenfolge nach der Null das Symbol 0 gegeben, der Eins die 1 und so weiter. Diese Ziffern kennt ihr alle. Wenn ihr jetzt zählt, so fangt ihr bei der Null an, dann die Eins und so weiter, bis ihr alle Symbole aufgebraucht habt. Bei den Muggeln ist das nach der Neun. Jetzt kommt die nächste Stelle ins Spiel. Dort wird jetzt das um Eins erhöhte Symbol eingesetzt und in der aktuellen Stelle wird wieder bei der Null begonnen. Langer Rede kurzer Sinn: Die Muggel zählen so« Wieder drehte ich mich zur Tafel, um mit einem kurzen Schlenkern erschienen wieder die gewollten Zahlen auf der Tafel.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, und jetzt die 10.

»Die Reihenfolge der Ziffern, also ob die Einerstelle ganz links oder ganz rechts steht, ist einfach eine Sache, über die man sich einigen muss. Da die wichtigsten Zahlen die größten sind und man in der Regel von links nach rechts liest, haben wir uns darauf geeinigt, dass die kleinste Stelle rechts steht. Da die Menschen - Muggel und Zauberer - 10 Finger haben und diese auch gern zum zählen benutzen, lag es nahe, zehn Ziffern zu benutzen. Diese Variante haben die Muggels dann ja auch übernommen. Sie hätten natürlich auch auf nur eine Hand zurückgreifen können und hätten dann ein Fünfersystem. Oder zusammen mit den Zehen ein Zwanzigersystem.

Auf diese Art und Weise kann man zu jeder beliebigen Anzahl an Ziffern ein Zahlensystem aufbauen. Die Muggel haben zehn Ziffern, die Zehenmitbenutzer zwanzig. Diese Anzahl Ziffern nennt man auch die Basis des Zahlensystems. Wie ihr gesehen habt, taucht diese Basis in einer Zahl an allen Stellen in Potenzen auf.« Kurz lehnte ich mich wieder an das Pult, bei dem ich wieder angelangt war, um meine Hände zu verschränken und dem eifrigen Gekritzel zu lauschen. Es war einfach erholsam, wenn die Schüler nicht redeten und man nur ihre Federn hörte. Normalerweise paukte ich den Stoff nicht so durch, aber da es die letzte Stunde vor den Ferien war, wollte ich lieber, dass sie sicher alles geschrieben hatten, anstatt ihnen großartig Fragen zu stellen. Sie konnten über die Ferien lernen, in der ersten Stunde würden sicher genügend Fragen auftauchen…

»Wir Magier haben uns auf eine andere Basiszahl geeinigt. Die Variante mit zehn Ziffern (Basis 10) war uns zu primitiv, weil die Zahlen einfach zu lang waren. Im Zwanzigersystem hatte die Muggelzahl 468080 bereits eine Stelle weniger. Und je kleiner die Basis, umso länger die Zahlen. Aus diesem Grund fielen auch Systeme auf der Basis 2 - bei den Muggeln "Dualsystem" - oder Basis 8 – Oktalsystem - weg. Basis 16 – Hexadezimalsystem - war schon besser, aber genügte uns noch nicht. Somit einigten wir uns schlussendlich auf folgende 36 Ziffern in dieser Reihenfolge:«

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, …, Z

»Wir haben bei den Beispielen schon mehrmals die Zahlen aus verschiedenen Systemen ins Muggelsystem übertragen. Stellt sich die Frage, wie man allgemein Zahlen aus dem einen System in eine anderes überträgt. Nehmen wir an, wir haben ein System, das z Ziffern hat. Nicht erschrecken, das z ist irgendeine beliebige Zahl, die ihr euch fest wählen könnt. Wenn ihr damit Schwierigkeiten habt, nehmt als Beispiel z=14. Das Muggelsystem hat z=10, wir Magier haben z=36.

In dem System, in das ihr umrechnen wollt, kennt ihr die Zahlen, die zu den z Ziffern gehören. In unserem Beispiel mit 14 Ziffern - nennen wir sie der Einfachheit halber 0..9 und A, B, C, D - wollen wir ins Muggelsystem umrechnen. Dann ist 0=0, 1=1, …, 9=9, A=10, B=11, C=12 und D=13.« Wieder blieb ich einen Moment still und ließ meinen Zauberstab die Zahlen auf die Tafel schreiben. Ein Blick in die Klasse zeigte mir teils etwas gelangweilte Gesichter, die ich mit einem Stirnrunzeln betrachtete, teils interessierte. Ab und zu gabs ein leichtes Gähnen und manche massierten sich schon ihre Hand, weil sie so schnell zu schreiben hatten. Doch der Unterricht war noch nicht zu Ende und so hob meine Stimme wieder an um weiter zu reden.

»Die Umrechnung einer Zahl im z-System in das vertraute System ist nun recht einfach:
Man nimmt die Ziffer ganz rechts - die Einerstelle -, rechnet sie um und multipliziert sie mit z0, also mit 1 - Jede Zahl hoch 0 ist gleich der 1. Nun nimmt man die zweite Stelle, rechnet sie um und multipliziert mit z1. Dann nimmt man die nächst Stelle, rechnet die Ziffer um und multipliziert das Ergebnis mit z2. Und so weiter und so fort. Zum Schluss müsst ihr nur noch die einzelnen Ergebnisse zusammenzählen und habt das Ergebnis.

Damit das nicht so trocken ist und ihr die Theorie auch mal in ihrer Anwendung seht, rechnen wir das Beispiel C85A02 aus dem 14er-System ins Muggelsystem um. Wir fangen ganz rechts bei den Einern an:
2 entspricht 2, multipliziert mit 14⁰=1 ergibt sich 2. Nun die nächste Stelle, die 14er-Stelle: 0 entspricht 0, multipliziert mit 14¹=14 ergibt sich 0; und so weiter und so fort:« Auf der Tafel erschien eine Zeile nach der anderen mit den fein säuberlich geschriebenen Zahlen und das Ergebnis daneben. Ich beobachtete die Schüler, wie sie die Aufgabe abschrieben. Die meisten hatten sie verstanden. Nun, es war auch nicht das erste Mal, dass sie das hörten. Doch es gab immer noch verständnislose Blicke, was mich leicht ärgerte. Noch simpler konnte man dieses Fach nicht erklären.

A entspricht 10, multipliziert mit 14²=196 ergibt sich 1960;

5 entspricht 5, multipliziert mit 14³= ergibt sich 13720;

8 entspricht 8, multipliziert mit 14⁴ = 38416 ergibt sich 307328;

C entspricht 12, multipliziert mit 14⁵ = 537824 ergibt sich 6453888;

»Jetzt die Ergebnisse noch zusammenzählen und dann erhaltet ihr die Zahl im Muggelsystem.
Das Ergebnis ist: 6776898. Jetzt das ganze noch mal: Wir nehmen die Zauberzahl ABC und rechnen sie ins Muggelsystem um:«

C entspricht der 12, B der 11 und A der 10. Jetzt haben wir also:

10*36² + 11*36¹ + 12*36⁰ = 10*1296 + 11*36 + 12 = 13368.

»Und noch einmal eine Zauberzahl ins Muggelsystem:«

123 im Zaubersystem entspricht welcher Zahl bei den Muggeln?

1 entspricht 1, 2 entspricht 2 3 entspricht 3. Also haben wir:

3*36⁰ + 2*36¹ + 1*36² = 3 + 2*36 + 1*1296 = 1371.

Ein kurzer Blick auf meine Uhr zeigte mir, dass die Stunde schon bald vorbei war und ich ein wenig anzerren musste, wenn ich alles, was ich vor hatte noch in dieser Stunde unterbringen wollte. So klatschte ich kurz in die Hände, was die Schüler etwas verschreckte, aber mein auffordernder Blick ließ sie sich noch ein wenig zusammenreißen. »Eine Viertelstunde noch. Dann können sie in ihre wohlverdienten Ferien gehen. Aber ich möchte noch ihre Aufmerksamkeit für diese zeit haben bitte.«, meinte ich mit strengem Blick und versuchte, zu einem Ende zu kommen. »Wenn wir jetzt eine Muggelzahl, also eine Zahl im Dezimalsystem haben und sie ins Zaubersystem umrechnen wollen, gehen wir ähnlich vor, nur umgekehrt:

Hier nehmen wir die Ausgangszahl und schauen, wie oft unsere Basis 36 in diese Zahl geht; d.h. wir teilen durch 36. Wenn ihr nach andauernder Division mit 36 endlich auf eine Zahl stoßt, die kleiner als 36 ist, könnt ihr nicht mehr ohne Bruch weiterdividieren. Dieser Rest bildet die Einerstelle unserer Zahl im Zaubersystem. Mit dem Ergebnis der Division wird weitergerechnet: Dividiere diesen so lange durch 36, bis du ein Ergebnis bekommst, das kleiner ist als 36. Dieser Rest ergibt dann die 36er-Stelle. Und so weiter. Rechnen wir als Beispiel die Muggelzahl 12345 ins Zaubersystem um:«

12345 = 342*36 + 33; (die 33 entspricht im Zaubersystem dem X, das wird unsere letzte Ziffer)

342 = 9*36 + 18; (die 18 entspricht I, das ist die zweite Ziffer von rechts)

9 ist bereits kleiner als 36, also sind wir fertig.

Also ist unser Ergebnis 9IX.

»Noch ein Beispiel:«

46731 = 1298*36 + 3

1298 = 36*36 + 2

36 = 1 * 36 + 0

1 = 0 * 36 + 1

Die Muggelzahl 46731 ist also im Zauberersystem die 1023.

»Damit ihr euch beim übertragen der Zauberzahlen ins Muggelsystem und umgekehrt leichter tut, solltet ihr die Tabelle benutzen, die ihr in der allerersten Stunde von mir bekommen habt.« Ich zeigte mit meinem Zauberstab kurz die Tabelle die ich meinte, bevor ich sie wieder verschwinden ließ. Die Schüler mussten sie nicht abschreiben, da sie diese schon in der ersten Stunde abgeschrieben hatten, damit sie sich beim Rechnen leichter taten.

»Da ihr mit Muggelzahlen rechnen könnt, könnt ihr jetzt auch schon kleine Aufgaben mit Zaubererzahlen lösen, indem ihr diese ins Muggelsystem übertragt und dort rechnet. Nachdem ihr im Dezimalsystem euer Ergebnis herausbekommen habt, müsst ihr dann nur noch dieses wieder ins Magiersystem übertragen. Dazu auch noch ein kleines Beispiel: Im Zaubersystem habt ihr folgende Aufgabe:«

RON + 200 - 1 = ?

»Zunächst übertragt ihr die Zauberzahlen ins Dezimalsystem:«

RON = 27*36² + 24*36 + 23

200 = 2*36² + 0*36 + 0

1 = 0*36² + 0*36 + 1

»Jetzt könnt ihr so rechnen wie ihr es gewohnt seid, dazu fasst ihr am Geschicktesten die Zahlen vor den 36er-Potenzen zusammen - oder rechnet die Zahl ganz aus. Dabei können aber sehr große Zahlen herauskommen, bei denen ihr schnell die übersicht verlieren könnt:«

(27+2-0)*36² + (24+0-0)*36 + (23-1) = 29*36² + 24*36 + 22

Jetzt noch zurückübersetzen: 29 entspricht T, 24 entspricht O und 22 entspricht M.

Also ist das Ergebnis: T O M

Kurz schwieg ich und wartete, bis sich das Schaben wieder gelegt hatte und klopfte mit dem Zauberstab kurz aufs Pult, da der Lärmpegel etwas zunahm. »Wir sind noch nicht ganz fertig. Ich möchte, dass ihr diese Aufgabe löst, die auf der Tafel steht. Sie ist bis zum Abend des 1. Septembers bei mir abzuliefern. Wenn ihr nun die Klase verlasst, nehmt euch euere Hausaufgabe vom Stapel Pergament. Die Punkte seht ihr auf eueren Aufgaben, die zeit ist nun leider zu Knapp, um alle durchzugehen und ich denke, es ist in euerem Interesse, den unterricht zu beenden. Bis September.« Nach meinen letzten Worten stieß ich mich wieder vom Pult ab, an dem ich mich angelehnt hatte und fing an, meine Dinge zu sammeln, um nach den Schülern den Raum zu verlassen.

Aufgabe:

Ein Zauberer hat ZEHN Liebestränke, ACHT Glückstränke und 10 Wahrheitselexiere. Wieviele Tränke hat er insgesamt?